Формула Вульфа-Брэгга. Дифракция на пространственной решетке. Уравнение брэгга-вульфа Структура и электроны

У. Л. Брэгг показал, что поглощение и испускание рентгеновских лучей кристаллами с математической точки зрения эквивалентно отражению света от параллельных плоскостей. Допустим, что рентгеновские лучи с длиной волны "К падают на поверхность кристалла под углом падения G. Длина пути рентгеновского луча, который отражается от верхнего слоя атомов кристалла (путь А на рис. 3.17), меньше, чем у рентгеновского луча, который отражается от второго слоя атомов (путь В). Для того чтобы две

Рис. 3.17. К выводу уравнения Брэгга Рис. 3.18. Установка для наблюдения дифракции рентгеновских лучей.

испускаемые волны имели одинаковую фазу и усиливали друг друга, длина их пути должна отличаться на целое число длин волн. Эту разность можно записать как пк, где и-целое число, а А,-длина волны рентгеновских лучей. Таким образом, угол отражения рентгеновских лучей должен быть связан с расстоянием d между двумя слоями атомов в кристалле соотношением

Это и есть уравнение Брэгга-Byльфа.

Дифракция на пространственной решетке.

Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения (см. (180.3)). Кристаллы, являясь трехмерными пространственными решетками (см. § 181), имеют постоянную порядка 10 -10 м и, следовательно, непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете (l » 5×10 -7 м). Эти факты позволили немецкому физику М. Лауэ (1879-1960) прийти к выводу, что в качестве естественных дифракционных решеток для рентгеновского излучения можно использовать кристаллы, поскольку расстояние между атомами в кристаллах одного порядка с l рентгеновского излучения (» 10 -12 ¸ 10 -8 м).

Простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристаллической решетки предложен независимо друг от друга Г. В. Вульфом (1863-192S) и английскими физиками Г. и Л. Брэггами (отец (1862-1942) и сын (1890-1971)). Они пред положили, что дифракция рентгеновского излучения является результатом его отражения от системы параллельных кристаллографических плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки).

Представим кристаллы в виде совокупности параллельных кристаллографических плоскостей (рис. 264), отстоящих друг от друга на расстоянии d.

Пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей (1, 2) падает под углом скольжения q(угол между направлением падающих лучей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1¢ и 2", интерферирующих между собой, подобно вторичным волнам, от щелей дифракционной решетки. Максимумы интенсивности (дифракционные максимумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Вульфа - Брэггов

т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн А, наблюдается дифракционный максимум.

При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, поворачивая кристалл, найти угол скольжения. Дифракционная картина может быть получена и при произвольном положении кристалла, для чего нужно пользоваться непрерывным рентгеновским спектром, испускаемым рентгеновской трубкой. Тогда дня таких условий опыта всегда найдутся длины волн А, удовлетворяющие условию (182.1).

Формула Вульфа - Брэггов используется при решении двух важных задач:

1. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристаллической структуре неизвестного строения и измеряя в и от, можно найти межплоскостное расстояние (d), т. е. определить структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного анализа. Формула Вульфа - Брэггов остается справедливой и при дифракции электронов и нейтронов. Методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции электронов и нейтронов, называются соответственно электронографией и нейтронографией.

2. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длины волны на кристаллической структуре при известном d и измеряя q и m, можно найти длину волны падающего рентгеновского излучения. Этот метод лежит в основе рентгеновской спектроскопии.

Дифракция наблюдается на трехмерных структурах, т.е. пространственных образованиях с периодичностью по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. Такой структурой обладают все кристаллические тела. Период, т.е. расстояние между двумя ближайшими атомами, порядка . Для того, чтобы наблюдалась дифракция необходимо, чтобы период структурыбыл больше. Поэтому для кристаллов это условие для видимого света не выполняется, а выполняется для ренгеновских лучей. Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости, называемые атомными слоями. Если падающая на кристалл волна плоская, то огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в этом слое, также будет представлять собой плоскость. Т.е. суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отраженной от атомной плоскости по обычному закону отражения. Плоские волны, отразившиеся от разных атомных плоскостей, когерентны, и, следовательно, будут интерферировать. В направлениях, в которых разность хода между соседними волнами кратна , будет наблюдаться максимум, во всех остальных направлениях волны будут гасить друг друга. Оптическая разность хода волн, отразившихся от соседних слоев:
, гдеd – период кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, - угол скольжения. Направления, в которых получаются максимумы, определяются условиями:. Атомные слои в кристалле можно провести множеством способов, но наибольшую интенсивность имеют те максимумы, которые получаются за счет отражений от слоев, густо усеянных атомами.

Два применения:

Для изучения структуры кристаллов (рнгеноструктурный анализ): если известна , то определяется период решетки.

Для изучения спектрального состава ренгеновского излучения (ренгеновская спектроскопия): если известен период, то определяют .

Разрешающая способность для оптических приборов.

Возможность разрешения, т.е. раздельного восприятия двух близких спектральных линий зависит от расстояния между ними и от ширины спектрального максимума. Два близких максимума воспринимаются глазом раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума. Согласно критерию Рэлея, такое соотношение интенсивностей имеет место, если середина одного максимума совпадает с краем другого.

Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном для данного прибора значении
. Разрешающей способностью спектрального прибора называют величину
. Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Условие главного максимума:
Условие дополнительных минимумов:
. Если
, то получится условие главного максимума. Если
, то будет следующий за главным максимумом дополнительный минимум.

Положение m-ого максимума для длины волны
определяется условием:. Краяm-ого минимума для длины волны расположены под углами, удовлетворяющими соотношению:
. Условие Рэлея будет выполняться, когда
. Следовательно,
.

25/Поляризация света.

Естественный и поляризованный свет.

Как говорилось выше, свет - это поперечные электромагнитные волны. Векторы напряженностей электрического Е и магнитного Н полей перпендикулярны друг другу и перпендикулярны направлению распространения волны. При рассмотрении явления поляризации будем рассматривать только вектор Е, помня, однако, что вектор напряженности Н перпендикулярен вектору Е.

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы излучают независимо друг от друга, число атомов велико, интенсивность излучения каждого атома в среднем одинакова. Поэтому световая волна, излучаемая телом, характеризуется равновероятными колебаниями вектора Е. Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора Е называется естественным .

Свет с преимущественной ориентацией вектора Е в каких-то направлениях называется поляризованным. Плоскополяризованный - вектор Е колеблется вдоль одного направления. Элептическиполяризованный - конец вектора Е описывает эллипс. Циркулярнополяризованный - конец вектора Е описывает окружность. Частично поляризованный свет - свет с преимущественной, но не единственной ориентацией вектора Е. Получить поляризованный свет можно, пропустив естественный свет через определенные кристаллы, которые имеют такую структуру кристаллической решетки, что способны пропускать свет только в определенных направлениях. Например, после прохождения света через кристалл турмалина, свет линейно поляризован, т.е. из кристалла выходит свет, в котором колебания вектора Е происходят только в одном направлении. Такие кристаллы называются поляризаторами.

Рассмотрим следующий опыт. Направим естественный свет на кристалл турмалина (поляризатор).

При выходе свет будет линейно поляризован. Будем вращать кристалл турмалина. При каждом повороте поляризатор будет пропускать вектор Е определенного направления. Т.к. в естественном свете вектор Е в каждом направлении имеет одинаковое значение, то при повороте поляризатора каждый раз величина вектора Е, пропускаемого поляризатором, будет одинакова, а, следовательно, и интенсивность света (I ~ Е 2) не изменяется при повороте поляризатора.

Колебания вектора Е, совершающиеся в плоскости, образующей с плоскостью поляризатора угол  , можно разложить на два колебания с амплитудами

. Первое колебание пройдет через поляризатор, а второе нет. Интенсивность прошедшей волны равна
, гдеI – интенсивность колебания с амплитудой Е. Следовательно, колебание, параллельное плоскости поляризатора, несет с собой долю интенсивности, равную
. В естественном свете все колебания равновероятны, поэтому доля света, прошедшего через поляризатор, будет равна среднему значению
, т.е.
. При вращении поляризатора интенсивность прошедшего света остается одной и той же, изменяется только ориентация плоскости колебаний света.

Плоскость поляризации – это плоскость, образованная вектором Е и направлением распространения. Плоскостью поляризатора называется плоскость, в которой поляризатор свободно пропускает колебания, и полностью или частично задерживает колебания, перпендикулярные к этой плоскости.

Теперь поставим еще одну пластину кристалла турмалина. Это анализатор.

Будем вращать эту пластину. На нее падает линейнополяризованный свет. Если направление, в котором анализатор пропускает свет, совпадает с направлением вектора Е в линейно поляризованном свете, то анализатор полностью пропускает линейнополяризованный свет. Если эти направления находятся под некоторым углом , то анализатор пропустит лишь составляющую вектора Е: Е=Е о со s  . Т.к. интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то I = I o cos 2  -это закон Малюса . Здесь - интенсивность света вышедшего из первого поляризатора, равная половине интенсивности естественного света. Т.е. интенсивность света, прошедшего через два поляризатора
. При = 90 0 - анализатор вообще не пропустит свет: интенсивность равна нулю.

Это позволяет различить линейнополяризованный свет от естественного. Исследуемый свет надо пропустить через поляризатор и вращать последний. Если при вращении поляризатора интенсивность света не меняется, то исследуемый свет естественный, если же интенсивность изменяется от нуля до максимума, причем интенсивность изменяется по закону квадрата косинуса, то исследуемый свет линейнополяризован.

Если поляризатор не полностью задерживает колебания, перпендикулярные плоскости поляризации, то на выходе такого поляризатора колебания одного направления преобладают над колебаниями других направлений. Такой свет называется частично поляризованным. Его можно рассматривать как смесь естественного и плоскополяризованного. Если пропустить частично поляризованный свет через анализатор, то при вращении анализатора вокруг направления луча интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от
до
при повороте на угол, равный
.Степенью поляризации называется величина, равная
. Для плоскополяризованного света
и
. Для естественного света
=
, и
. Для эллиптически-поляризованного света понятие степени поляризации неприменимо.

Поляризация при отражении и преломлении .

Если естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков, то часть его отражается, а часть преломляется. Оказалось, что отраженный и преломленный лучи частично поляризованы. Причем, в отраженном луче колебания вектора Е перпендикулярны плоскости падения, а в преломленном параллельны плоскости падения. При угле падения, связанному с показателями преломления сред соотношением
, отраженный луч становится полностью поляризованным (линейно поляризованным), а преломленный - максимально поляризован, но не полностью - этозакон Брюстера . Такой угол падения называетсяуглом Брюстера .

Покажем, что при падении света на диэлектрик под углом Брюстера, угол между отраженным и преломленным лучами является прямым.

.

,. Т.к. угол падения равен углу отражения
,
, т.е. угол между отраженным и преломленным лучами равен
. Если свет падает под углом Брюстера, то преломленный свет оказывается максимально, но не полностью поляризованным. Если взять стопу из пластинок, и каждый раз запускать свет под углом Брюстера, то свет окажется полностью поляризованным.

Вывод

Пусть плоская монохроматическая волна любого типа падает на кристаллическую решётку с периодом d, под углом θ, как показано на рисунке

Падающий (синий) и отражённые (красные) лучи

Как видно есть разница в путях между лучом отражённым вдоль AC" и лучом прошедшим к второй плоскости атомов по пути AB и только после этого отражённым вдоль BC . Разница в путях запишется как

Если эта разница равна целому числу волн n то две волны придут в точку наблюдения с одинакомыми фазами испытав интерференцию. Математически можно записать:

где λ - длина волны излучения. Используя теорему Пифагора можно показать, что

как и следующие соотношения:

Собрав всё вместе получим известное выражение:

После упрощения получим закон Брэгга

Применение

Условие Вульфа-Брэгга позволяет определить межплоскостные расстояния d в кристалле, так как λ обычно известна, а углы θ измеряются экспериментально. Условие (1) получено без учёта эффекта преломления для безграничного кристалла, имеющего идеально-периодическое строение. В действительности дифрагированное излучение распространяется в конечном угловом интервале θ±Δθ, причём ширина этого интервала определяется в кинематическом приближении числом отражающих атомных плоскостей (то есть пропорциональна линейным размерам кристалла), аналогично числу штрихов дифракционной решётки. При динамической дифракции величина Δθ зависит также от величины взаимодействия рентгеновского излучения с атомами кристалла. Искажения решётки кристалла в зависимости от их характера ведут к изменению угла θ, или возрастанию Δθ, или к тому и другому одновременно. Условие Вульфа-Брэгга является исходным пунктом исследований в рентгеновском структурном анализе, рентгенографии материалов, рентгеновской топографии. Условие Вульфа-Брэгга остаётся справедливым при дифракции γ-излучения, электронов и нейтронов в кристаллах, при дифракции в слоистых и периодических структурах излучения радио- и оптического диапазонов, а также звука. В нелинейной оптике и квантовой электронике при описании параметрических и неупругих процессов применяются различные условия пространственного синхронизма волн, близкие по смыслу условию Вульфа-Брэгга.

Литература

• Bragg W. L., "The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 17 , 43 (1914).
• Физическая энциклопедия /Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М. Балдин, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. - М.: Сов. энциклопедия. Т.1. Аронова – Бома эффект – Длинные линии. 1988. 704 с., ил.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Закон Брэгга" в других словарях:

закон Брэгга - Brego ir Vulfo sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Bragg’s law; Bragg’s reflection condition; Bragg’s relationship vok. Reflexionsbedingung von Bragg, f; Wulf Braggsche Bedingung, f rus. закон Брэгга, m; условие Брэгга Вульфа, n… … Fizikos terminų žodynas

Определяет направление возникновения дифракции максимумов упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Выведено в 1913 независимо У. Л. Брэггом и Г. В. Вульфом. Имеет вид … Википедия

Определяет направление возникновения дифракции максимумов упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Выведено в 1913 независимо У.Л. Брэггом и Г.В. Вульфом. Имеет вид: , где d межплоскостное расстояние, θ угол скольжения падающего… … Википедия